Задача 2. Лекция. Графы. DFS в ориентированном графе. ≡

Условие

Поиск в глубину в ориентированном графе

Рассмотренный нами алгоритм поиска в глубину может быть использован и для ориентированных графов (в процедуре Explore надо перебирать выходящие из вершины ребра). На рис. 1 показан пример ориентированного графа и дерева, построенного поиском в глубину.

Вершина A называется корнем дерева (tree root), все остальные вершины этого дерева являются ее потомками E, а E является их предком (ancestor). Наконец, C является родителем (parent) D, а D — ребенком (child) C. (В отличие от людей, у вершины дерева может быть только один родитель.)

При поиске в глубину в ориентированных графах различают четыре типа ребер.

• Ребра дерева (tree edges) — ребра леса, построенного поиском в глубину.
• Прямые ребра (forward edges) ведут от вершины к ее потомку, не являющемуся при этом ее ребенком.
• Обратные ребра (back edges) ведут от вершины к ее предку.
• Перекрестные ребра (cross edges) ведут от вершины к другой вершине, не являющейся ни предком, ни потомком первой (такая вершина уже полностью обработана в момент обнаружения перекрестного ребра).

На рис. 1 можно обнаружить два прямых, два обратных и два перекрестных ребра (найдите их).

Тип ребра можно узнать по tin и tout значениям его концов. Легко видеть, что вершина u является предком v тогда и только тогда, когда v была обнаружена во время вызова Explore(u). В этом случае tin(u) < tin(v) < tout(v) < tout(u), то есть отрезок обработки v вложен в отрезок обработки u. Для обратных ребер: u — потомок v тогда и только тогда, когда v — предок u; для перекрестных ребер u − v отрезки не пересекаются (и v-отрезок предшествует u-отрезку).

Могут ли быть другие случаи расположения отрезков? Почему?

Ориентированные ациклические графы

Наличие циклов в ориентированном графе легко проверить с помощью одного вызова поиска в глубину.

Свойство. Ориентированный граф содержит цикл тогда и только тогда, когда при поиске в глубину обнаруживается обратное ребро.

Доказательство. Ясно, что если (u, v) — обратное ребро, то путь в дереве поиска в глубину от v к u и само ребро (u, v) образуют цикл.

Обратно: пусть граф содержит цикл v₀→ v₁→ ... → v_k→ v₀ и пусть v_i — вершина этого цикла, которая была обнаружена первой (то есть вершина с минимальным tin(v_i)). Все оставшиеся вершины цикла достижимы из v_i, и поэтому в дереве поиска в глубину они будут потомками v_i. Тогда ребро v_i − 1→ v_i (или же v_k→ v₀, если i = 0) ведет из вершины в ее предка, то есть является обратным ребром.

Топологическая сортировка

С помощью ориентированных ациклических графов (directed acyclic graphs или сокращенно DAGs) удобно представлять временные и иерархические отношения, а также причинно-следственные связи. Допустим, к примеру, что необходимо сделать несколько вещей, при чем есть ограничения на порядок (сначала надо проснуться и лишь потом встать с кровати; душ надо принять после того, как встал с кровати, но до того, как оделся). Как выбрать правильный порядок дел?

Ограничения представим как ориентированный граф: каждому делу соответствует вершина; ребро из u в v означает, что u должно быть выполнено до v. Если в этом графе есть цикл, то правильного порядка не существует вовсе. Если же граф ациклический, то есть надежда его топологически упорядочить (topologically sort) — так упорядочить вершины, чтобы каждое ребро вело от более ранней вершины к более поздней. Например, для графа рис. 2 один из допустимых порядков таков: B, A, D, C, E, F. (Видите ли вы еще три порядка?).

Какие же ориентированные ациклические графы можно топологически упорядочить? Оказывается, что все, и это можно сделать с помощью поиска в глубину, расположив вершины в порядке убывания их tout-значений. Ведь tout(u) < tout(v) только для обратных ребер (u, v), а мы уже знаем, что в ациклическом графе обратных ребер быть не может.

Свойство.В ориентированном ациклическом графе каждое ребро идет из вершины с бОльшим tout-значением в вершину с меньшим tout-значением.

Посмотрим на первую и последнюю вершину после топологической сортировки. Из последней вершины рёбра не выходят: как говорят, она является стоком (sink). Напротив, в первую вершину рёбра не входят: она является истоком (source). В частности, мы доказали такое утверждение:

Свойство.У каждого ациклического ориентированного графа есть хотя бы один исток и хотя бы один сток.

Заметим, что, отсортировать вершины по значению tout можно за линейное время. Для этого нужно добавлять вершины в массив в момент выхода из функции Explore

procedure Explore(v: Integer);
var
    i: Integer;
begin
    used[v]  := true;

    Previsit(v);

    for i := 0 to High(adj[v]) do
        if not used[adj[v][i]] then
            Explore(adj[v][i]);

{ Добавляем вершину в конец с помощью глобального счетчика k }
    order[k] = v;
    k += 1;
end;

---