Задача A1. Мишень ≡

Условие

Вы реализуете игру "дартс" в виртуальной реальности. Игра устроена следующим образом. Дана мишень в форме круга радиуса R, расположенная в плоскости XY с центром в координатах (0, 0), разбитая на n равных секторов. Сектора пронумерованы от 1 до n по часовой стрелке. В момент броска мишень находится в таком положении, что сегмент с номером 1 расположен в верхней полуплоскости справа от оси Y. Мишень закручивается вокруг оси Z по часовой стрелке и приобретает постоянную угловую скорость w градусов в секунду.

Игрок, стоя лицом к мишени на расстоянии z, бросает дротик из координаты (x, y) в плоскости XY перпендикулярно мишени в её сторону. Дротик летит прямолинейно с постоянной скоростью v, не изменяя высоту полёта.

Требуется написать программу, которая определяет номер сектора, в который попадёт игрок.

Формат входного файла

Входные данные содержат целые числа R, w, x, y, z, v, n. Гарантируется, что участник не попал в границу между секторами.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать единственное целое число — номер сектора, в который попал участник, или 0, если участник не попал в мишень.

Ограничения

1 ≤ r, w, v, z ≤ 100

 − 100 ≤ x, y ≤ 100

2 ≤ n ≤ 100

Примеры тестов

10 20 10 0 100 100 100

20

100 1 50 0 1 1 2

1

Задача A2. Распознавание метки ≡

Условие

Приложение дополненной реальности пытается найти на изображении, полученном с камеры телефона, метку, представляющую собой ярко раскрашенный прямоугольник. Благодаря контрастному цвету прямоугольника на этапе предварительной обработки изображение удалось преобразовать в массив из W на H элементов, каждый из которых равен либо '#' (ASCII 35), если он принадлежит прямоугольнику, либо '.' (ASCII 46) в противном случае.

В первом примере теста ошибочным может быть левый верхний элемент элемент непосредственно справа от него, элемент непосредственно снизу от него. Все остальные варианты из нуля или одной ошибки не дают прямоугольника в результате исправления.

Напишите программу, которая по данному изображению подсчитывает количество различных возможных положений метки.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целые числа W H N. Следующие H строк содержат по W символов . и # каждая — изображение после предварительной обработки.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать единственное целое число — количество возможных расположений метки.

Ограничения

1 ≤ W, H ≤ 100, 0 ≤ N ≤ W × H

Описание системы оценивания

Решения работающие для W, H ≤ 20 оцениваются из 50 баллов. Баллы выставляются за каждый успешно пройденный тест.

Примеры тестов

3 3 1
.#.
##.
...

3

2 2 0
#.
.#

0

Задача A3. Полоса препятствий ≡

Условие

Одно из заданий на соревнованиях по подводной робототехнике — полоса препятствий. Полоса состоит из n подряд идущих стен, высота i-й стены h_i.

Цель робота — преодолеть все стены, достать флаг, который находится в конце полосы за всеми стенами, и вернуться обратно. Стену можно преодолеть двумя способами: подняться, проплыть над ней и опуститься обратно или сделать подкоп. Если стена была преодолена с помощью подкопа, то в при проходе в обратную сторону можно воспользоваться уже готовым подкопом. Всего разрешается сделать не более m подкопов.

Робот имеет ограниченный заряд батареи. Изначально он способен подняться над стеной высотой k или меньше, далее после каждого подъёма максимальная высота стены, которую может преодолеть робот, снижается на 1.

Робот поддерживает две команды: D — идти через подкоп (если подкопа ещё нет, то робот выкапывает его), U — проплыть над препятствием.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целые числа n m k. Следующая строка содержат n целых чисел h_i - высоты стен.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать строку NO, если задание выполнить невозможно. В противном случае — две строки: строку YES и строку из 2 n символов U и D — последовательность команд робота, которая позволит ему преодолеть полосу препятствий и вернуться обратно. Первые n символов содержат описание прохождение от стены с номером 1 до стены с номером n, следующие n символов содержат описание прохождения от стены с номером n до стены с номером 1.

Если решений несколько, выведите любое из них.

Ограничения

1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 1 ≤ k, h_i ≤ 10⁹

Описание подзадач и системы оценивания

Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты этой подзадачи и необходимых подзадач успешно пройдены.

Примеры тестов

10 5 10
10 1 4 2 4 3 4 4 8 9

YES
DUDUDUUUDDDDUUUDUDUD

5 1 1
5 5 5 5 5

NO

10 10 10000
13123 141323 213323 3213 213213 321 323213 1323 213 1232113

YES
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

Задача B1. Программирование робота ≡

Условие

Программа для робота X представляет из себя последовательность из 0 и 1. Известно, что если в коде содержится K подряд стоящих 0 или 1, то робот сбрасывается к заводским настройкам.

Вася написал программу для робота. В ходе написания программы часто допускаются ошибки, поэтому программа Васи может содержать K или более подряд идущих 0 или 1. Вася не хочет сброса настроек на роботе, но в тоже время он хочет как можно быстрее запустить свою программу. Для этого он хочет внести минимальное количество изменений в код программы, так чтобы программа не вызывала сброса настроек. Изменения бывают только двух видов: замена символа 1 на 0 и замена символа 0 на 1.

Программа Васи может быть достаточно длинной, поэтому он хочет автоматизировать процесс корректировки.

Формат входных данных

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и k. Вторая строка входных данных содержит строку длины n, состоящую из 0 и 1.

Формат выходных данных

Выходные данные должны содержать одну строку длины n — откорректированную программу.

Если решений несколько, выведите любое из них.

Ограничения

3 ≤ n, k ≤ 3 ⋅ 10⁵

Описание подзадач и системы оценивания

Решения, работающие для n ≤ 3, оцениваются из 20 баллов. Решения для n ≤ 10 оцениваются из 50 баллов. Баллы выставляются за каждый успешно пройденный тест.

Примеры тестов

3 3
111

110

10 3
1110001110

1100101100

3 3
101

101

Задача B2. Усовершенствование космического корабля ≡

Условие

Вася пишет игру — 2D космический симулятор. Космический корабль представляет из себя выпуклый многоугольник, состоящий из n вершин. По задумке Васи улучшение корабля должно происходит следующим образом: корабль заменяется на другой корабль — выпуклый многоугольник большего размера, стороны которого содержат все вершины прошлого выпуклого многоугольника, и при этом имеет минимальное возможное количество вершин.

Вася понял, что ему не хватает знаний для реализации данной механики, поэтому он хочет для начала определить, сколько вершин будет содержать космический корабль после улучшения. С этой задачей он тоже не справился, поэтому делегировал её вам.

Формат входных данных

Первая строка содержит одно целое число N — количество вершин в многоугольнике описывающем, космический корабль. Следующие N строк содержат N пар вещественных чисел (x_i, y_i) (по одной в строке) — координаты вершин выпуклого многоугольника, описывающего космический корабль, в порядке обхода.

Формат выходных данных

Выходные данные должны содержать одно целое число — количество вершин в новом многоугольнике.

Ограничения

 − 10000 ≤ x_i, y_i ≤ 10000

3 ≤ N ≤ 10⁴

Описание подзадач и системы оценивания

Баллы выставляются за каждый успешно пройденный тест.

Примеры тестов

6
0.5 0.5
3 0
5 2
3 3
1 3
0 2

3

4
0 0
0 1
1 1
1 0

3

Задача B3. Слон Пахом и разработка RPG ≡

Условие

Слон Пахом создаёт новую RPG, для игры ему потребовался уровень-лабиринт. Лабиринт содержит n × m платформ, n рядов по m платформ. Платформы бывают трёх видов:

1. Коридоры. В зависимости от ориентации обозначаются или символом "-" (находясь на такой платформе можно, пройти только влево или вправо) или "|" (находясь на такой платформе, можно пройти только вверх или вниз).
2. Перекрёстки. Обозначаются символом "+" (можно пройти в любую сторону).
3. Стены. Обозначаются символом "#" (по ним нельзя пройти).

С платформы на платформу можно перейти, только если платформы стыкуются между собой. Во время похождения по коридору игрок может повернуть платформу, на которой он находится, на 90 градусов и продолжить прохождение в любом направлении, или же оставить платформу нетронутой и пройти дальше.

Слон Пахом сгенерировал несколько лабиринтов, но теперь начал сомневаться в проходимости этих лабиринтов. Кроме того, Пахом считает, что поворот платформы запутывает игрока, поэтому для он хочет определить, можно ли пройти лабиринт, а если можно, то он хочет найти минимальное количество поворотов платформ, необходимое для прохождения лабиринта.

Слон Пахом не справился с поставленной задачей и просит вас написать программу для определения минимального необходимого количества поворотов платформ для прохождения лабиринта, если лабиринт проходимый.

Формат входных данных

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и m. Следующие n строк содержат по m символов каждая — описание лабиринта.

Формат выходных данных

Первая строка выходных данных должна содержать "YES", если лабиринт проходимый, в противном случае "NO".

Если лабиринт проходимый, то следующая строка должна содержать целое число k — минимальное количество поворотов, необходимое для прохождения лабиринта.

Ограничения

1 ≤ n, m ≤ 10³

Описание подзадач и системы оценивания

Решения, работающие для n = 1, оцениваются из 30 баллов. Баллы выставляются за каждый успешно пройденный тест.

Примеры тестов

5 5
+++++
+++++
+++++
+++++
+++++

YES
0

1 8
+-------

YES
0

1 8
+------|

NO

5 6
|-----
|-###-
#|---#
####|#
+++#|-

YES
5

1 1
#

NO

Задача C1. Перепад глубины ≡

Условие

Автономный необитаемый подводный аппарат проплыл по заданной траектории, записав последовательность целых чисел a_i — глубину своего погружения в метрах на i-й секунде.

Известно, что за одну секунду глубина погружения не может измениться более чем на d метров в большую или меньшую сторону. Определение глубины не всегда работает точно, из-за чего это условие может быть нарушено в исходной последовательности. Необходимо очистить данные, удалив из них как можно меньше элементов.

Требуется написать программу, которая по данным a_i и d определит наименьшее возможное количество элементов, которые нужно удалить из последовательности a_i чтобы разность рядом стоящих элементов в оставшейся последовательности по модулю не превосходила d.

Формат входных данных

Входные данные содержат целые числа n и d — количество измерений и максимальный перепад глубины. Далее следует n целых чисел a_i — измерения глубины.

Формат выходных данных

Выходные данные должны содержать единственное целое число — наименьшее количество удаляемых элементов.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 20 000, 0 ≤ d ≤ 1000, 0 ≤ a_i ≤ 10⁹

Примеры тестов

3 4
10 15 14

1

Задача C2. Отладка шарика ≡

Условие

Юный программист Вася решил разработать собственную платформу виртуальной реальности. Для начала он реализовал вывод пустой чёрной сцены с единственным красным шаром. Однако в алгоритме вывода шара Вася допустил ошибки, из-за которых шар не всегда выводился правильно.

Для отладки Вася сделал скриншоты своего приложения (шар на них должен превратиться в круг). Скриншот представлен прямоугольным массивом символов, в котором символ "#" представляет красный пиксель, а символ "." — чёрный пиксель.

Если шар нарисован правильно, то красными будут только те пиксели, координаты которых (x; y) удовлетворяют условию (x − x₀)² + (y − y₀)² ≤ r², где x₀, y₀, r — неизвестные целые числа.

Требуется написать программу, которая по изображению выяснит, правильно ли на нём нарисован шар (спроецированный в круг), и если да, то определит значения x₀, y₀, r.

Формат входных данных

Первая строка входных данных содержит целые числа X Y — ширину и высоту прямоугольника. Следующие Y строк содержат по X символов "#" и "." каждая — описание изображения.

Формат выходных данных

Выходные данные должны содержать целые числа 1 x₀ y₀ r, если изображение является правильным, и число 0 в противном случае. Координаты отсчитываются от верхнего левого угла.

Ограничения

3 ≤ X, Y ≤ 2000, r ≥ 1

1 ≤ x₀ − r < x₀ + r ≤ X, 1 ≤ y₀ − r < y₀ + r ≤ Y

Примеры тестов

3 3
.#.
###
.#.

1 2 2 1

Задача C3. Морской бой ≡

Условие

Вася создаёт игру про корабли. В игре есть мины, которые имеют форму круга. Корабль имеет форму выпуклого многоугольника. Вася хочет придумать механику взаимодействия мины и корабля, для этого ему требуется вычислить площадь пересечения мины и корабля. Так как у Васи плохо с геометрией, он просит вас написать программу для вычисления площади пересечения корабля, заданного координатами вершин, и мины, заданной радиусом и координатами центра.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит 3 целых числа x_c, y_c, r_c — координаты и радиус мины. Вторая строка содержит одно целое число N — количество вершин в многоугольнике, описывающем корабль. Следующие N строк содержат N пар чисел (x_i, y_i) (по одной паре в строке) — координаты вершин выпуклого многоугольника, описывающего корабль, в порядке обхода по часовой стрелке.

Формат выходного файла

Выходные должны содержать одно вещественное число — площадь пересечения мины и корабля с точностью не менее двух знаков после запятой.

Ограничения

 − 1000 ≤ x_c, y_c, r_c, x_i, y_i ≤ 1000

3 ≤ N ≤ 10³

Описание подзадач и системы оценивания

Решения, работающие для  − 10 ≤ x_c, y_c, r_c, x_i, y_i ≤ 10, оцениваются из 50 баллов. Баллы выставляются за каждый успешно пройденный тест.

Примеры тестов

1 1 1
4
0 0
0 1
1 1
1 0

0.785398163

0 0 1
3
0 0
0 1
1 0

0.5

0 0 4
4
0 0
0 2
4 4
2 0

7.07035