Задача A. Группировка выборки ≡

Условие

Из генеральной совокупности извлечена выборка {x_i}ni = 1 объёма n. Требуется представить выборку в виде вариационного ряда:

Порядок выполнения:

1) На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x₁, x₂, …, x_k по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение x_j называется уровнем (вариантой).

2) Подсчитывается m_j частота каждого уровня;

3) Подсчитываются относительные частоты w_j.

Формат входного файла

Входные данные содержат число n, за которым следует n целых чисел.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать данные, сгруппированные в таблицу. Вещественные числа необходимо вывести с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 < n < 10⁵

Примеры тестов

4
0 1 0 1

0 1
2 2
0.5 0.5

10
1 4 2 2 4 3 4 4 3 3

1 2 3 4
1 2 3 4
0.1 0.2 0.3 0.4

Задача B. Среднее арифметическое ≡

Условие

Требуется написать программу, которая вычисляет среднее арифметическое заданной выборки.

Формат входного файла

Входные данные содержат число n, за которым следует n положительных вещественных чисел.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать единственное число — среднее арифметическое выборки с точностью не менее 3 знаков после запятой.

Ограничения

1 < n < 10⁵

Примеры тестов

3
1 3 5

3

Задача C. Среднее гармоническое ≡

Условие

Требуется написать программу, которая вычисляет среднее гармоническое заданной выборки.

Формат входного файла

Входные данные содержат число n, за которым следует n положительных вещественных чисел.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать единственное число — среднее гармоническое выборки с точностью не менее 3 знаков после запятой.

Ограничения

1 < n < 10⁵

Примеры тестов

3
1 3 5

1.957

Задача D. Средние взвешенные ≡

Условие

Требуется написать программу, которая вычисляет средние арифметическое, гармоническое и геометрическое заданного вариационного ряда.

Формат входного файла

Входные данные содержат число n, за которым следует n строк, состоящих из пар чисел: вещественное число x_i и соответствующая ему частота m_i (т.е. количества элементов x_i в исходной выборке).

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать три числа, разделённых пробелом: средние арифметическое, гармоническое и геометрическое с точностью не менее 3 знаков после запятой.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 300, 1 ≤ m_i ≤ 5, 0 < x_i < 3

Примеры тестов

2
2 4
3 4

2.5 2.4 2.449

Задача E. Центральный момент ≡

Условие

Задана выборка {x_i} объёма n. Требуется вычислить выборочный центральный момент k-го порядка.

Формат входного файла

Входные данные содержат числа n и k, за которыми следует n вещественных чисел разделённых пробелом.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать единственное вещественное число — выборочный центральный момент k-го порядка с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ k ≤ 5

Примеры тестов

10 1
1 4 5 4 4 5 1 5 2 3

0

10 2
7 8 -2 -8 8 -3 9 -6 1 -2

36.16

Задача F. Гистограмма ≡

Условие

Пусть имеется выборка {x_i}ni = 1. Для построения гистограммы необходимо разбить выборку на интервалы равной длины [b₁, b₂), [b₂, b₃) … [b_k, b_k + 1], b₁ = mini x_i, b_k + 1 = maxi x_i.

Число k - оптимальное количество интервалов - вычисляется согласно формуле Стёрджеса k = 1 + ⌊log₂ n⌋, где ⌊ ...⌋ — антье.

Формат входного файла

Входные данные содержат число n, за которым следует n вещественных чисел.

Формат выходного файла

В результате работы программы необходимо вывести k натуральных чисел — количество элементов в каждом из интервалов.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 10⁴

Примеры тестов

3
0 1 2

1 2

6
8 9 2 1 2 0

4 0 2

6
8 9 1 2 0 10

3 0 3

Задача G. Корреляция ≡

Условие

Требуется написать программу, которая вычисляет матрицу коэффициентов корреляции Пирсона заданных выборок.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит целые числа N и M — количество и длину выборок соответственно. Каждая из последующих N строк содержит по M вещественных чисел.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать матрицу размером N × N — матрицу коэффициентов корреляции. Вещественные числа необходимо вывести с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

2 ≤ N < 50, 1 < M < 10⁴

Примеры тестов

2 10
6 -10 10 -5 -8 -4 4 -5 0 4
4 -5 3 10 -2 -1 -6 -2 2 -8

1 0.075
0.075 1

3 10
2 -3 -6 -3 0 0 -7 6 -1 -8
-5 5 4 1 13 10 -10 -1 9 2
4 -2 4 3 5 4 -1 0 3 4

1 0.158 0.01
0.158 1 0.462
0.01 0.462 1

Задача H. Ранговая корреляция ≡

Условие

Требуется написать программу, которая вычисляет матрицу коэффициентов ранговой корреляции Кэнделла заданных выборок.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит целые числа n и m — количество и длину выборок соответственно. Каждая из последующих n строк содержит по m натуральных чисел, при этом в каждой строке все m чисел уникальны.

Формат выходного файла

Выходные данные должны содержать матрицу размером n × n — матрицу коэффициентов корреляции. Вещественные числа необходимо вывести с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

2 < n < 5, 1 < m < 10³

Примеры тестов

2 4
1 2 3 4
4 3 2 1

1 -1
-1 1

2 7
1 2 3 4 5 6 7
7 6 4 5 3 2 1

1 -0.905
-0.905 1

Задача I. Собственные значения и векторы ≡

Условие

Требуется написать программу, вычисляющую собственные значения и соответствующие им векторы квадратной матрицы {a_i,j}ni,j = 1.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целое число n — размер матрицы. Следующие n строк содержат по n вещественных чисел — элементы матрицы a_i,j. Элементы матрицы заданы таким образом, что собственные значения и векторы матрицы являются вещественными.

Формат выходного файла

Первая строка выходного файла должна содержать n вещественных чисел — собственные значения матрицы, отсортированные в порядке возрастания. В последующих n строках необходимо вывести соответствующие собственные векторы.

Ограничения

2 ≤ n ≤ 200

Примеры тестов

2
2 1
1 2

1 3
1 -1
1  1

Задача J. СЛАУ. Метод Гаусса ≡

Условие

Требуется написать программу, вычисляющую решение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b, используя метод Гаусса, где A = {a_i,j}ni,j = 1, x = {x_i}ni = 1, b = {b_i}ni = 1.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целое число n — размер матрицы. Следующие n строк содержат по n целых чисел — элементы матрицы a_i,j. Последняя строка файла содержит n целых чисел — элементы вектора b_i.

Формат выходного файла

Первая строка выходного файла должна содержать n вещественных чисел — элементы вектора x_i с точностью не менее трёх знаков после запятой. Если система не имеет единственного решения необходимо вывести единственное число  − 1.

Ограничения

2 ≤ n ≤ 75

Примеры тестов

3
3 2 -1
2 -2 4
-1 1 -1
1 -2 0

0.4 -0.6 -1

3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3

-1