Задача A. Метод скользящего среднего ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую сглаженный ряд {ŷ_t}n − m / 2t = m / 2, где m — ширина интервала сглаживания.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и m. Следующая строка содержит n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Единственная строка выходного файла должна содержать уровни сглаженного ряда ŷ_t с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 < n < 10⁵

3 ⩽ m ⩽ 15

Примеры тестов

9 3
5 2 5 5 8 5 5 2 5

4 4 6 6 6 4 4

Задача B. Метод скользящего взвешенного среднего ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую сглаженный ряд {ŷ_t}n − m / 2t = m / 2 с использованием весов {w_i}mi = 1 для расчёта среднего, где m — ширина интервала сглаживания.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и m. Далее следуют m целых чисел — веса w_i. Последняя строка содержит n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Единственная строка выходного файла должна содержать уровни сглаженного ряда ŷ_t с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 < n < 10⁵

3 ⩽ m ⩽ 15

Примеры тестов

9 3
1 2 1
5 1 5 5 9 5 5 1 5

3 4 6 7 6 4 3

Задача C. Выделение тренда ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать на языке Python функцию, вычисляющую коэффициенты функции тренда h(t) = m∑i = 1a_i g_i(t).

Код решения должен содержать только определение и реализацию функции. Он не должен ничего выводить.

Формат входных данных

x, y — одномерные массивы типа np.ndarray. f — функция одного аргумента, возвращающая список значений функций g_i, т.е. f(t) ≡ {g_i(t)}mi = 1.

Формат выходных данных

Функция должна возвращать единственный np.ndarray массив — коэффициенты a_i.

Ограничения

1 < n < 10³

1 < m ⩽ 5

Примеры тестов

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 7, 11])
find_fit(x, y, lambda x: np.array((1, x)))
        

-1 2.2

Задача D. Автокорреляция ≡

Условие

Пусть задан временной ряд Yn1 = {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую значения коэффициентов автокорреляции Пирсона r_l = corr(Yn − l1, Ynl), l = 1,m.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит целые числа n и m — длину ряда и максимальное значение задержки. Вторая строка входного файла содержит n вещественных чисел — временной ряд.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать m вещественных чисел — значения коэффициента автокорреляции с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

2 ⩽ m < n ⩽ 10³

Примеры тестов

10 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

0.1 -1

Задача E. Экспоненциальное сглаживание ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую сглаженный ряд с использованием экспоненциального сглаживания.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит числа n и α — длину ряда и параметр сглаживания соответственно. Далее следуют n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Единственная строка выходного файла должна содержать уровни сглаженного ряда ŷ_t с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 < n ⩽ 10⁵

0 < α < 1

Примеры тестов

9 0.5
1 2 2.5 0 2 2.5 0 2 2.5

1 1.5 2 1 1.5 2 1 1.5 2

Задача F. Двойное экспоненциальное сглаживание ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую сглаженный ряд с использованием двойного экспоненциального сглаживания.

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит числа n, α и β — длину ряда, параметры сглаживания данных и тренда соответственно. Далее следуют n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Единственная строка выходного файла должна содержать уровни сглаженного ряда ŷ_t с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Ограничения

1 < n ⩽ 10⁵

0 < α,β < 1

Примеры тестов

9 0.5 0.5
1 3 5 7 9 11 13 15 17

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Задача G. Тройное экспоненциальное сглаживание ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую сглаженный ряд с использованием тройного экспоненциального сглаживания (с аддитивной сезонностью).

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит числа n, α, β, γ, L — длину ряда, параметры сглаживания данных, тренда, сезонности и период сезонности соответственно. Далее следуют n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Единственная строка выходного файла должна содержать уровни сглаженного ряда ŷ_t с точностью не менее трех знаков после запятой.

Ограничения

1 < L < n ⩽ 10⁵

0 < α,β,γ < 1

Примеры тестов

9 0.5 0.5 0.5 3
1 3 5 7 9 11 13 15 17

1.0 2.5 3.955 5.949 8.124 10.032 11.964 14.0139 16.0205

Задача H. Regression residuals bootstrap ≡

Условие

Требуется написать на языке Python функцию, вычисляющую среднее и дисперсию коэффициентов регрессии с использованием бутсрэппинга остатков регрессии (Resampling residuals)

def bootstrap(X : np.ndarray, y : np.ndarray, reg : Model, n : int):
    '''Calculates mean and variance of regression coeffitients using residuals bootstrapping.
    X - explanatory variable values
    y - response variable values
    reg - Model class object
    n - number of bootstrap cycles

    Outputs two np.ndarray values -- mean and variance respectively'''
    pass

Класс Model имеет следующий интерфейс

class Model:
    '''Represents some regression model'''

    params : np.ndarray # Current regression coeffitients
    error : np.ndarray # Current regression residuals
    y : np.ndarray # Fitted values

    def initialize(self, X : np.ndarray, y : np.ndarray):
        '''Initializes regression model. Populates params, error and y attributes.'''
        pass

    def refit(self, new_y : np.ndarray):
        '''Refits model, invalidates params attribute.'''
        pass

Формат выходных данных

Функция должна возвращать два np.ndarray массива — среднее и дисперсию коэффициентов регрессии с точностью не менее трёх знаков после запятой.

Примеры тестов

X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
bootstrap(X, y, LinearRegression(), 10)
        

[0 1], [0 0]

Задача I. ARIMA ≡

Условие

Пусть задан временной ряд {y_t}nt = 1. Требуется написать программу, вычисляющую прогноз этого ряда — значение y_n + 1 с помощью модели авторегрессии ARIMA(m, k, 0).

Формат входного файла

Первая строка входных данных содержит числа n, m, k — длину ряда, глубину авторегрессии и порядок разностей временного ряда соответственно. Далее следуют n вещественных чисел — уровни ряда y_t.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать единственное число — прогноз ŷ_n + 1 с точностью не менее четырех знаков после запятой.

Ограничения

1 < n ⩽ 10⁵

1 ⩽ m, k ⩽ 5

Примеры тестов

9 2 1
2 3 4 6 9 14 22 35 56

90

Задача J. Байесовский классификатор ≡

Условие

Пусть задано вещественное пространство Rⁿ. Требуется написать программу, классифицирующую точки с использованием байесовского классификатора B(x) = arg maxi = 0,m − 1(π_i f_{Nk(μi, Σi)}(x)m − 1∏j = 0,i ≠ jλ_i,j), где m — количество классов, π_i — априорная вероятность класса, f_{Nk(μi, Σi)} — функция плотности многомерного нормального распределения N_k(μ_i, Σ_i) со средним μ_i и матрицей ковариации Σ_i, λ_i,j — штраф за ошибочною классификацию класса i в качестве класса j.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит натуральные числа n, m, k, l — размерность пространства, количество классов, количество элементов обучающей и тестовой выборок соответственно. Далее следуют значения матрицы λ — m строк по m натуральных чисел. Далее следуют k строк обучающей выборки в формате x_i,0, x_i,1, …, x_{i,n − 1}, c_i, где x_i,j вещественные числа — координаты точки i, c_i ∈ {0,1,…,m − 1} — класс точки. Последние l строк содержат по n вещественных чисел — координаты точек тестовой выборки.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать l целых чисел — предсказанные классы точек тестовой выборки.

Ограничения

n ∈ {2, 3}

2 ⩽ m ⩽ 9

2 ⩽ k, l ⩽ 10³

1 ⩽ λ_i,j ⩽ 5

Примеры тестов

2 2 6 2
0 1
1 0
1 1 0
1 2 0
2 1 0
-1 -1 1
-1 -2 1
-2 -1 1
2 2
-2 -2

0 1