Задача A. Силовые поля ≡

Условие

В физико-биологической лаборатории исследуют воздействие излучения на растения при облучении через силовые поля.

Экспериментальная установка содержит квадратную платформу размером 10⁹ × 10⁹, заполненную плодородной почвой. Над платформой установлен источник излучения. Между источником излучения и платформой можно включать n силовых полей.

Генератор силовых полей установлен над точкой (0, 0). При этом i-е силовое поле представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными границам платформы и координатами двух противоположных углов (0, 0) и (x_i, y_i).

В эксперименте планируется изучать воздействие излучения на растения при облучении через k силовых полей. Из заданных n полей необходимо выбрать k полей для эксперимента. Ученые хотят выбрать силовые поля таким образом, чтобы площадь участка платформы, над которой находятся все k выбранных силовых полей, была максимальна.

Требуется написать программу, которая по заданным целым числам n, k и описанию n силовых полей определяет, какие k силовых полей необходимо выбрать для эксперимента, чтобы площадь участка, покрытого всеми k силовыми полями, была максимальна, и выводит площадь этого участка.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целые числа n и k — общее количество силовых полей и количество силовых полей, которые необходимо выбрать для эксперимента.

Последующие n строк содержат по два целых числа x_i, y_i — координаты дальнего от начала координат угла прямоугольного участка i-го силового поля.

Формат выходного файла

Требуется вывести одно целое число: максимальную площадь искомого участка.

Ограничения

1 ≤ k ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ x_i, y_i ≤ 10⁹

Описание подзадач и системы оценивания

Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты этой подзадачи и необходимых подзадач успешно пройдены.

Получение информации о результатах окончательной проверки

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Пояснение к примеру

На рис. 1 показаны пять силовых полей, заданных во входном файле. Оптимальный способ выбрать из них три поля для эксперимента показан на рис. 2.

Рис 1. Силовые поля в примере описания входных данных.

Рис 2. Оптимальный выбор трех из пяти силовых полей в данном примере.

Примеры тестов

5 3
3 5
2 2
2 5
4 4
5 3

9

Задача B. Размещение данных ≡

Условие

Телекоммуникационная сеть крупной IT-компании содержит n серверов, пронумерованных от 1 до n. Некоторые пары серверов соединены двусторонними каналами связи, всего в сети m каналов. Гарантируется, что сеть серверов устроена таким образом, что по каналам связи можно передавать данные с любого сервера на любой другой сервер, возможно с использованием одного или нескольких промежуточных серверов.

Множество серверов A называется отказоустойчивым, если при недоступности любого канала связи выполнено следующее условие. Для любого не входящего в это множество сервера X существует способ передать данные по остальным каналам на сервер X хотя бы от одного сервера из множества A.

На рис. 1 показан пример сети и отказоустойчивого множества из серверов с номерами 1 и 4. Данные на сервер 2 можно передать следующим образом. При недоступности канала между серверами 1 и 2  — с сервера 4, при недоступности канала между серверами 2 и 3  — с сервера 1. На серверы 3 и 5 при недоступности любого канала связи можно по другим каналам передать данные с сервера 4.

Рис. 1. Пример сети и отказоустойчивого множества серверов.

В рамках проекта группе разработчиков компании необходимо разместить свои данные в сети. Для повышения доступности данных и устойчивости к авариям разработчики хотят продублировать свои данные, разместив их одновременно на нескольких серверах, образующих отказоустойчивое множество. Чтобы минимизировать издержки, необходимо выбрать минимальное по количеству серверов отказоустойчивое множество. Кроме того, чтобы узнать, насколько гибко устроена сеть, необходимо подсчитать количество способов выбора такого множества, и поскольку это количество способов может быть большим, необходимо найти остаток от деления этого количества способов на число 10⁹ + 7.

Требуется написать программу, которая по заданному описанию сети определяет следующие числа: k  — минимальное количество серверов в отказоустойчивом множестве серверов, c  — остаток от деления количества способов выбора отказоустойчивого множества из k серверов на число 10⁹ + 7

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит целые числа n и m  — количество серверов и количество каналов связи соответственно.

Следующие m строк содержат по два целых числа и описывают каналы связи между серверами. Каждый канал связи задается двумя целыми числами: номерами серверов, которые он соединяет.

Гарантируется, что любые два сервера соединены напрямую не более чем одним каналом связи, никакой канал не соединяет сервер сам с собой, и для любой пары серверов существует способ передачи данных с одного из них на другой, возможно с использованием одного или нескольких промежуточных серверов.

Формат выходного файла

Выведите два целых числа, разделенных пробелом: k  — минимальное число серверов в отказоустойчивом множестве серверов, c  — количество способов выбора отказоустойчивого множества из k серверов, взятое по модулю 10⁹ + 7

Ограничения

2 ≤ n ≤ 200000, 1 ≤ m ≤ 200000

Система оценки и описание подзадач

Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты этой подзадачи и необходимых подзадач успешно пройдены.

Описание подзадач и системы оценивания

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Пояснение к примеру

В приведённом примере отказоустойчивыми являются следующие множества из двух серверов: {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}.

Примеры тестов

5 5
1 2
2 3
3 4
3 5
4 5

2 3

Задача C. Интересные числа ≡

Условие

Софья считает число интересным, если его цифры идут в неубывающем порядке. Например, числа 123, 1111 или 888999 — интересные.

Софья заинтересовалась, сколько существует интересных положительных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно. Это число может оказаться довольно большим для больших L и R, поэтому Софья хочет найти остаток от деления этого числа на 10⁹ + 7.

Требуется написать программу, которая по заданным L и R определяет количество интересных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно, и выводит остаток от деления этого числа на 10⁹ + 7.

Формат входного файла

Входной файл содержит две строки. Первая строка содержит число L, вторая строка содержит число R.

Формат выходного файла

Выходной файл должен одно целое число — остаток от деления количества интересных чисел, лежащих в диапазоне от L до R включительно, на 10⁹ + 7.

Ограничения

1 ≤ L ≤ R ≤ 10¹⁰⁰

Описание подзадач и системы оценивания

Подзадача 1 (21 балл)

L = 1, R ≤ 1000.

Баллы за подзадачу начисляются только в случае, если все тесты успешно пройдены.

Подзадача 2 (22 балла)

1 ≤ L ≤ R ≤ 10¹⁸.

В этой подзадаче 11 тестов, каждый тест оценивается в 2 балла. Баллы за каждый тест начисляются независимо.

Подзадача 3 (24 балла)

L = 1, R = 10^k для некоторого целого k, 2 ≤ k ≤ 100.

В этой подзадаче 8 тестов, каждый тест оценивается в 3 балла. Баллы за каждый тест начисляются независимо.

Подзадача 4 (33 балла)

1 ≤ L ≤ R ≤ 10¹⁰⁰.

В этой подзадаче 11 тестов, каждый тест оценивается в 3 балла. Баллы за каждый тест начисляются независимо.

Получение информации о результатах окончательной проверки

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Примеры тестов

1
100

54

Задача D. Странные строки ≡

Условие

Рассмотрим строку S, состоящую из строчных букв латинского алфавита. Примером такой строки является, например, строка «abba».

Подстрокой строки S называется строка, составленная из одного или нескольких подряд идущих символов строки S. Обозначим как W(S) множество, состоящее из всех возможных подстрок строки S. При этом каждая подстрока входит в это множество не более одного раза, даже если она встречается в строке S несколько раз.

Например, W(«abba») = {«a», «b», «ab», «ba», «bb», «abb», «bba», «abba»}.

Подпоследовательностью строки S называется строка, которую можно получить из S удалением произвольного числа символов. Обозначим как Y(S) множество, состоящее из всех возможных подпоследовательностей строки S. Аналогично W(S), каждая подпоследовательность строки S включается в Y(S) ровно один раз, даже если она может быть получена несколькими способами удаления символов из строки S. Поскольку любая подстрока строки S является также ее подпоследовательностью, то множество Y(S) включает в себя W(S), но может содержать также и другие строки.

Например, Y(«abba») = W(«abba») ∪ {«aa», «aba»}. Знак ∪ обозначает объединение множеств.

Будем называть строку S странной, если для нее W(S) = Y(S). Так, строка «abba» не является странной, а, например, строка «abb» является, так как для нее W(«abb») = Y(«abb») = {«a», «b», «ab», «bb», «abb»}.

Будем называть странностью строки число ее различных странных подстрок. При вычислении странности подстрока считается один раз, даже если она встречается в строке S в качестве подстроки несколько раз. Так, странность строки «abba» равна 7, поскольку любая ее подстрока, кроме всей строки, является странной.

Требуется написать программу, которая по заданной строке S определяет ее странность.

Формат входного файла

Входной файл содержит строку S, состоящую из строчных букв латинского алфавита.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать одно целое число: странность заданной во входном файле строки.

Ограничения

Строка S имеет длину от 1 до 200 000 символов.

Система оценки и описание подзадач

В этой задаче четыре подзадачи. Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты для данной подзадачи успешно пройдены.

Подзадача 1 (29 баллов)

Строка S состоит только из букв «a» и «b». Длина строки S не превышает 50.

Подзадача 2 (12 баллов)

Длина строки S не превышает 50.

Подзадача 3 (25 баллов)

Длина строки S не превышает 1000.

Подзадача 3 (34 балла)

Длина строки S не превышает 200 000.

Получение информации о результатах окончательной проверки

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Примеры тестов

abba

7

Задача E. Укладка плитки ≡

Условие

В процессе ремонта в Лаборатории Информационных Технологий строителям необходимо заменить поврежденные напольные плитки в коридоре лаборатории, который имеет размер 2 × n метров. В распоряжении строителей есть неограниченный запас плиток двух размеров: 1 × 2 метра и 1 × 1 метр. При этом плитки размером 1 × 2 метра перед укладкой разрешается поворачивать на 90 градусов и размещать как вдоль, так и поперек коридора.

Строители уже начали ремонт и уложили в некоторых местах пола коридора k плиток размером 1 × 1. Для завершения ремонта прорабу необходимо подготовить план дальнейших работ. Для этого ему надо решить, каким образом уложить плитки на места, где они еще не уложены. Это можно сделать различными способами и прораб хочет перебрать все варианты и выбрать самый удачный. Перед тем как это сделать, прораб хочет знать, какое количество вариантов ему придется рассмотреть. Это число требуется найти по модулю 10⁹ + 7.

Требуется написать программу, которая по заданной длине коридора n и расположению плиток, которые уже уложены, определяет количество способов укладки плиток на оставшиеся места. Ответ необходимо вывести по модулю 10⁹ + 7.

Пояснения к примерам

Внимание! Третий тест не подходит под ограничения для первых трех подзадач, но решение принимается на проверку только в том случае, если оно выводит правильный ответ на все тесты из примера. Решение должно выводить правильный ответ на третий тест даже, если оно рассчитано на решение только каких-либо подзадач из первых трех.

Рисунок 1. Все способы укладки плиток в первом примере

Рисунок 2. Все способы укладки плиток в третьем примере. Уже уложенная плитка отмечена серым цветом.

Система оценивания и описание подзадач

Подзадача 1 (20 баллов)

1 ≤ n ≤ 8, k = 0

Баллы за подзадачу начисляются только в случае, если все тесты подзадачи пройдены.

Подзадача 2 (20 баллов)

1 ≤ n ≤ 1000, k = 0

Баллы за подзадачу начисляются только в случае, если все тесты подзадачи пройдены.

Подзадача 3 (20 баллов)

1 ≤ n ≤ 100 000, k = 0

Баллы за подзадачу начисляются только в случае, если все тесты подзадачи пройдены.

Подзадача 4 (40 баллов)

1 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ 2 n

В этой подзадаче 20 тестов, каждый тест оценивается в 2 балла. Баллы за каждый тест начисляются независимо.

Получение информации о результатах окончательной проверки

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит два целых числа: n — длину коридора и k — количество уже уложенных единичных плиток.

Последующие k строк содержат по два целых числа x_i и y_i, которые задают позиции уже уложенных единичных плиток, i-я плитка уложена на x_i-м метре коридора в y_i-м ряду.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать одно целое число — количество способов укладки плиток в коридоре, взятое по модулю 10⁹ + 7.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 100 000; 0 ≤ k ≤ 2 n; 1 ≤ x_i ≤ n; 1 ≤ y_i ≤ 2.

Примеры тестов

2 0

7

3 0

22

3 1
2 1

8

Задача F. Река ≡

Условие

Во Флатландии протекает богатая рыбой река Большой Флат. Много лет назад река была поделена между n рыболовными предприятиями, каждое из которых получило непрерывный отрезок реки. При этом i-е предприятие, если рассматривать их по порядку, начиная от истока, изначально получило отрезок реки длиной a_i.

С тех пор с рыболовными предприятиями во Флатландии k раз происходили различные события. Каждое из событий было одного из двух типов: банкротство некоторого предприятия или разделение некоторого предприятия на два.

При некоторых событиях отрезок реки, принадлежащий предприятию, с которым это событие происходит, делится на две части. Каждый такой отрезок имеет длину большую или равную 2. Деление происходит по следующему правилу. Если отрезок имеет четную длину, то он делится на две равные части. Иначе он делится на две части, длины которых различаются ровно на единицу, при этом часть, которая ближе к истоку реки, имеет меньшую длину.

При банкротстве предприятия происходит следующее. Отрезок реки, принадлежавший обанкротившемуся предприятию, переходит к его соседям. Если у обанкротившегося предприятия один сосед, то этому соседу целиком передается отрезок реки обанкротившегося предприятия. Если же соседей двое, то отрезок реки делится на две части описанным выше способом, после чего каждый из соседей присоединяет к своему отрезку ближайшую к нему часть.

При разделении предприятия отрезок реки, принадлежавший разделяемому предприятию, всегда делится на две части описанным выше способом. Разделившееся предприятие ликвидируется, и образуются два новых предприятия.

Таким образом, после каждого события каждое предприятие владеет некоторым отрезком реки.

Министерство финансов Флатландии предлагает ввести налог на рыболовные предприятия, пропорциональный квадрату длины отрезка реки, принадлежащего соответствующему предприятию. Чтобы проанализировать, как будет работать этот налог, министр хочет по имеющимся данным узнать, как изменялась величина, равная сумме квадратов длин отрезков реки, принадлежащих предприятиям, после каждого произошедшего события.

Требуется написать программу, которая по заданному начальному разделению реки между предприятиями и списку событий, происходивших с предприятиями, определит, чему равна сумма квадратов длин отрезков реки, принадлежащих предприятиям, в начальный момент времени и после каждого события.

Пояснения к примерам

Распределение отрезков реки между предприятиями после каждого события, описанного в примере, приведено на рисунке ниже.

Система оценивания и описание подзадач

В этой задаче четыре подзадачи. Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты для данной подзадачи успешно пройдены.

Внимание! Тест из примера не подходит под ограничение подзадачи 3. Тем не менее, решение задачи принимается на проверку только в том случае, если оно выводит правильный ответ на тесте из примера, даже если участник претендует на правильное решение только этой подзадачи.

В первой строке каждого теста после числа n указан номер подзадачи, для теста из примера указано число 0, в тестах первой подзадачи указано число 1, и т. д.

Подзадача 1 (30 баллов)

2 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 100, 1 ≤ a_i ≤ 100, p = 1.

Подзадача 2 (30 баллов)

2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ 100 000, 1 ≤ a_i ≤ 10⁴, p = 2.

Для всех i от 1 до k − 1 выполнено условие: |v_i − v_i + 1| ≤ 10

Подзадача 3 (20 баллов)

2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ 100 000, 1 ≤ a_i ≤ 10⁴, p = 3.

Все события имеют тип e_i = 1 (нет разделений предприятий, только банкротства).

Подзадача 4 (20 баллов)

2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ 100 000, 1 ≤ a_i ≤ 10⁴, p = 4.

Получение информации о результатах окончательной проверки

По запросу сообщается результат окончательной проверки на каждом тесте.

Формат входного файла

Первая строка входного файла содержит два целых числа: n и p — исходное количество предприятий и номер подзадачи.

Вторая строка входного файла содержит n целых чисел a₁, a₂, …, a_n — длины исходных отрезков реки.

Третья строка входного файла содержит целое число k — количество событий, происходивших с предприятиями.

Последующие k строк содержат описания событий, i-я строка содержит два целых числа: e_i и v_i — тип события и номер предприятия, с которым оно произошло. Значение e_i = 1 означает, что предприятие, которое после всех предыдущих событий является v_i-м по порядку, если считать с единицы от истока реки, обанкротилось, а значение e_i = 2 означает, что это предприятие разделилось на два.

Гарантируется, что значение v_i не превышает текущее количество предприятий. Гарантируется, что если отрезок предприятия при банкротстве или разделении требуется поделить на две части, то он имеет длину большую или равную 2. Гарантируется, что если на реке осталось единственное предприятие, оно не банкротится.

Формат выходного файла

Выходной файл должен содержать (k + 1) целых чисел, по одному в строке. Первая строка должна содержать исходную сумму квадратов длин отрезков реки, а каждая из последующих k строк — сумму квадратов длин отрезков реки после очередного события.

Ограничения

2 ≤ n ≤ 100 000, 0 ≤ p ≤ 4, 1 ≤ k ≤ 100 000, 1 ≤ a_i ≤ 10⁴.

Примеры тестов

4 0
3 5 5 4
5
1 1
2 1
1 3
2 2
1 3

75
105
73
101
83
113