Пусть имеется набор из m точек n-мерного евклидова пространства, заданных своими декартовыми координатами:
(x1i, x2i, …, xni), где нижний индекс обозначает номер точки, а верхний — номер координаты.
Требуется определить, существует ли n-мерный параллелепипед (со сторонами, параллельными осям координат), на границе которого лежат указанные точки.
Формат входного файла
В начале входного файла "input.txt" хранятся два натуральных числа: m и n.
Далее следует m строк, содержащих координаты точек исходного множества:
(x1i, x2i, …, xni).
Формат выходного файла
Выходной файл "output.txt" должен содержать одно из следующих значений:
1 — если такой параллелепипед существует;
0 — в противном случае.
Ограничения
Все входные значения являются целыми десятичными числами.
Пусть имеются две круглые плоские пластины, произвольным образом расположенные в трехмерном пространстве.
Каждая такая пластина однозначно задается ортогональным к ней вектором (Nxi, Nyi, Nzi), своим центром (Cxi, Cyi, Czi) и радиусом Ri.
Требуется определить наличие пересечения между указанными пластинами.
Будем считать, что пластины пересекаются, если у них имеется как минимум одна общая точка.
Формат входного файла
В начале входного файла "input.txt" хранится набор вещественных значений, задающих первую пластину: Nx1, Ny1, Nz1, Cx1, Cy1, Cz1, R1.
Далее следует такой же набор, задающий вторую пластину: Nx2, Ny2, Nz2, Cx2, Cy2, Cz2, R2.
Формат выходного файла
Выходной файл "output.txt" должен содержать:
1 — если заданные пластины пересекаются;
0 — в противном случае.
Ограничения
Гарантируется, что в пределах заданной
точности ответ может быть
получен однозначно.
Пусть имеются три частицы, положение которых в момент времени t = 0 задается двумерными координатами: (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3).
Полагается, что в течение всего последующего времени каждая i-я частица, независимо от остальных,
совершает прямолинейное движение с некоторой постоянной скоростью (ui, vi).
Требуется определить наиболее ранний момент времени T ≥ 0, когда они окажутся на одной прямой.
В рамках одного научного исследования по изучению псевдо-броуновского движения на плоскости возникла необходимость в моделировании поведения двумерных псевдо-частиц при их попадании в замкнутую ловушку, имеющую форму кольца.
Дело в том, что такого рода частицы в течение всей своей жизни совершают непрерывное прямолинейное движение с некоторой постоянной скоростью.
Когда частица сталкивается с каким-либо препятствием, она отклоняется от исходной траектории и продолжает свое движение, как ни в чем не бывало.
В очень редких случаях также могут встречаться абсолютно неподвижные частицы, скорости которых равны нулю.
Чтобы изучить подвижную псевдо-частицу, ее необходимо длительное время удерживать в некоторой ограниченной области.
Для этого в экспериментальной лаборатории воссоздаются условия при которых достаточно большой набор частиц окажется в пределах замкнутого кольца, граница которого образует силовой барьер, через который частицы не могут пройти.
Определим кольцо, как область, заключенную между двумя окружностями с общим центром (x0, y0) и разными радиусами: r2 > r1 > 0.
В этом случае исходное множество частиц можно условно разбить на три группы:
частицы, попадающие во внутренний круг с центром в точке (x0, y0) и радиусом r1 > 0;
частицы, заключенные между двумя окружностями с радиусами r1 и r2;
частицы, лежащие за пределами внешнего круга с радиусом r2 > r1.
Рассмотрим поведение указанных частиц на временном интервале от 0 до T.
В процессе своего движения каждая отдельно взятая частица может то и дело сталкиваться с границей содержащей ее области.
Будем полагать, что при столкновении частицы с границей она отражается относительно касательной прямой (как показано на рисунке).
Модуль ее скорости при этом сохраняется.
В свою очередь, взаимные столкновения двух и более частиц не влияют на их траектории и могут быть проигнорированы.
Требуется написать программу, которая по известному начальному положению частиц, исходным компонентам скорости и параметрам кольцевой области, производит расчет их траекторий в течение заданного промежутка времени.
В качестве ответа вывести координаты положения частиц в равноотстоящие моменты времени tk = k ⋅ (T / m), где k = 1, 2, …, m.
Важным условием здесь является то, что в процессе движения ни одна из частиц не должна покидать область, которой она принадлежала в начальный момент времени.
Данный факт следует также учесть при составлении проверочных тестов.
Формат входного файла
В первой строке входного файла "input.txt" содержатся параметры расчетной области: x0, y0, r1, r2.
Во второй строке указано значение T, задающее длину временного интервала, и число его подынтервалов m.
Далее следует натуральное число n и последовательность из 4 × n вещественных чисел, задающих начальные координаты и скорости каждой из частиц: xi, yi, ui, vi, где i = 1, 2, …, n.
Формат выходного файла
Выходной файл "output.txt" должен содержать координаты положения частиц в моменты времени tk (k = 1, 2, …, m), расположенные в том же порядке, что и во входном файле.
Все значения должны быть указаны с точностью до 5-го знака после запятой.
Ограничения
Полагается, что ни одна из частиц в начальный момент времени не лежит на границе кольца.
Рассмотрим множество непрерывно растущих пузырей, расположенных на плоскости.
Каждый такой пузырь представляет собой круг, заданный координатами своего центра (xi, yi) и радиальной скоростью vi, указывающей приращение его радиуса за единицу времени.
Известно, что рост отдельно взятого пузыря будет остановлен, как только он достигнет границы любого другого.
При этом полагается, что в начальный момент времени (t = 0) радиусы всех пузырей равны нулю.
Требуется определить наиболее ранний момент времени, когда ни один из пузырей больше не сможет продолжать свой рост.
В свою очередь, для каждого такого пузыря следует указать максимально возможный радиус, которого он успеет достичь.
Формат входного файла
Во входном файле "input.txt" хранится натуральное число n, указывающее количество пузырей.
Далее следует набор из 3 × n вещественных чисел: xi, yi, vi.
Формат выходного файла
Выходной файл "output.txt" должен содержать время окончания роста всех таких пузырей
и значения их радиусов ri в конечный момент времени.
Все значения должны быть записаны с точностью до 5-го знака после запятой.
Начинающий программист Вася увлекается робототехникой.
Помимо всего прочего, он также посещает разного рода турниры, посвященные данной тематике.
В рамках каждого турнира перед участниками ставится набор задач, для решения которых требуется писать программу для специализированного робота.
Одной из таких задач Вася захотел поделиться с Вами.
Пусть имеется манипулятор, состоящий из 2-х звеньев (костей), управляемых моторами.
Каждый мотор может поворачивать соответствующую кость на некоторый положительный угол, заданный в радианах.
Требуется, получив на вход координаты (x0, y0), определить, на сколько радиан нужно повернуть каждую из костей, чтобы манипулятор занял указанную позицию.
Начало отсчета координат — крепление первой кости.
Длины и углы поворота каждой из костей ограничены.
Формат входного файла
Входной файл "input.txt" содержит набор вещественных чисел:
R1, R2 — размеры 1-й и 2-й кости;
F1, F2 — максимальный раствор угла для каждой из костей;
x0, y0 — координаты назначения.
Формат выходного файла
Выходной файл "output.txt" должен содержать значения φ1, φ2 — углы поворота для каждой из костей, указанные с точностью до 5-го знака после запятой.
Если решение не может быть найдено, вывести '-1'.
Ограничения
Все тесты подобраны таким образом, чтобы исключить влияние погрешности машинного округления на результат решения.
Определим кольцо, как область, заключенную между двумя окружностями с общим центром 