| Входной файл: | Стандартный вход | Ограничение времени: | 3 сек | |
| Выходной файл: | Стандартный выход | Ограничение памяти: | 512 Мб | |
| Максимальный балл: | 1 |
Требуется написать на языке Python класс PoissonRegression, реализующий обобщённую линейную модель, использующую логарифмическую функцию связи
f(x, θ) = exp(n∑i = 1θi xi + θ0) ,
где n — количество признаков.
Модель оптимизирует следующую функцию потерь
l(X, y, θ) = 1mm∑i = 1(yilogyif(Xi, θ) − yi + f(Xi, θ)) + α2n∑i = 1θ2i ,
где m — количество примеров, α — параметр регуляризации.
Для оценки качества модели используется метрика D2
D2 = 1 − D(y, ŷ)D(y, y) ,
где y — среднее значение вектора y,
D(y, ŷ) = 2mm∑i = 1(yilogyiŷi − yi + ŷi) .
Класс должен иметь следующий интерфейс
from __future__ import annotations
import numpy as np
class PoissonRegression:
r"""Implements a generalized linear model with log link function[1]
f(x, \theta) = \exp(\sum\limits_{i=1}^n\theta_ix_i + \theta_0)
The model optimizes the following loss
l(X, y, \theta) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^n(y_i\log\frac{y_i}{f(X_i, \theta)} - y_i + f(X_i, \theta)) + \frac{\alpha}{2}\sum\limits_{i=1}^n\theta_i^2
where n, m are numbers of features and samples respectively, $\alpha$ -- regularization strength.
Parameters:
use_bias: bool, default = True
Whether the model uses bias term.
alpha: float, default = 1
L2 regularization strength.
References:
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_linear_model#Link_function
"""
def __init__(self, use_bias: bool = True, alpha: float = 1):
"""Initializes `use_bias` and `alpha` fields."""
pass
def predict(self, X: np.ndarray) -> np.ndarray:
"""Computes model value on feature matrix `X`.
Arguments:
X: 2d array of float, feature matrix.
Returns:
1d array of float, predicted values.
"""
pass
def loss(self, X: np.ndarray, y: np.ndarray) -> float:
"""Computes loss value on feature matrix `X` with target values `y`.
Arguments:
X: 2d array of float, feature matrix.
y: 1d array of int, target values.
Returns:
loss value
"""
pass
def score(self, X: np.ndarray, y: np.ndarray) -> float:
r"""Computes D^2 score on feature matrix `X` with target values `y`.
The score is defined as
D^2 = 1 - \frac{D(y, \hat{y})}{D(y, \overline{y})}
where D(y, \hat{y}) = 2(y\log\frac{y}{\hat{y}} - y + \hat{y}).
Arguments:
X: 2d array of float, feature matrix.
y: 1d array of int, target values.
Returns:
score value
"""
pass
def fit(self, X: np.ndarray, y: np.ndarray, *,
eta: float = 1e-3, beta1: float = 0.9, beta2: float = 0.999,
epsilon: float = 1e-8, tol: float = 1e-3, max_iter: int = 1000) -> PoissonRegression:
"""Optimizes model loss w.r.t model coefficitents using Adam[1] optimization algorithm.
Initially model coefficients are initialized with zeros.
Arguments:
X: 2d array of float, feature matrix.
y: 1d array of int, target values.
eta: learning rate.
beta1: first moment decay rate.
beta2: second moment decay rate.
tol: threshold for L2-norm of gradient.
max_iter: maximal number of iterations.
Returns:
self
References:
[1]: https://ruder.io/optimizing-gradient-descent/index.html#adam
"""
pass
@property
def coeffs(self) -> np.ndarray:
"""Returns 1d array of float, coefficients used by the model excluding bias term."""
pass
@property
def bias(self) -> float:
"""Returns bias term used by the model. If `use_bias = False` returns 0."""
pass
Для оптимизации должен быть использован алгоритм Adam. Оптимизация начинается с нулевой начальной точки θ = {0}ni = 0.
При решении задачи запрещено использовать любые модули, кроме numpy и scipy.special.
Код решения должен содержать импортируемые модули, определение и реализацию класса.