Задача 4. Олимпиада для роботов

Автор:Центральная предметно-методическая комиссия   Ограничение времени:2 сек
Входной файл:Стандартный вход   Ограничение памяти:512 Мб
Выходной файл:Стандартный выход  
Максимальный балл:100  

Условие

Жюри чемпионата по скоростному вычислению булевых функций среди роботов готовит задания для участников.

Задание для роботов представляет собой таблицу из m строк и n столбцов, каждая ячейка которой содержит целое число. Обозначим число в i-й строке, j-м столбце таблицы как xi,j. В каждом столбце значения в ячейках таблицы образую перестановку чисел от 0 до m − 1. Иначе говоря, числа в каждом столбце различны: если i ≠ k, то xi, j ≠ xk, j для всех j, и выполнено условие 0 ≤ xi,j < m.

Для каждого столбца таблицы задаётся значение порога — целое неотрицательное число zj от 0 до m. В качестве аргументов булевых функций, которые будут вычислять участники олимпиады, используются значения логических выражений xi,j < zj. Значение такого логического выражения равно 1, если неравенство выполнено, иначе оно равно 0.

В процессе соревнования участники вычисляют значения m булевых функций — по одному для каждой строки. Каждая булева функция задаётся в виде бесповторной монотонной линейной программы (БМЛП).

Рассмотрим БМЛП для i-й строки таблицы. Она представляет собой последовательность из n − 1 инструкции, пронумерованных от 1 до n − 1, p-я инструкция задаётся тремя числами: ap, bp и opp. Число opp принимает два возможных значения: 1 для операции and  — логическое "и", 2 для операции or  — логическое "или". Числа ap и bp являются номерами аргументов p-й инструкции, выполнены неравенства 1 ≤ ap, bp < n + p.

Рассмотрим массив val[1..2 n − 1], каждое из значений которого равно 0 или 1. Проинициализируем значения val[1]..val[n] с использованием порогов, val[j] = 1, если xi,j < zj, иначе val[j] = 0. Значение val[n + p] вычисляется с использованием p-й инструкции.

При этом программа является бесповторной, а именно все 2 n − 2 значений ap и bp для p от 1 до n − 1 различны. Иначе говоря, ap ≠ bp, а если p ≠ q, то ap ≠ aq, ap ≠ bq, bp ≠ aq и bp ≠ bq.

Результатом исполнения программы является значение val[2 n − 1].

Жюри олимпиады подготовило таблицу xi,j, выбрало булевы функции для каждой строки и записало их в виде БМЛП. Теперь осталось выбрать значение порога для каждого столбца, чтобы получить задание для олимпиады. Жюри считает задание сбалансированным, если ровно s из m программ для строк таблицы возвращают единицу, а остальные m − s возвращают ноль. Ваша задача — помочь жюри найти подходящие значения порогов.

Требуется написать программу, которая по заданным значениям в ячейках таблицы и БМЛП для строк таблицы определяет такие значения порогов zj, чтобы значение ровно s из m заданных функций было равно 1. Можно доказать, что при описанных в условии задачи ограничениях требуемые значения порогов всегда можно подобрать.

Формат входных данных

В первой строке входных данных заданы целые числа n, m и s (1 ≤ n ≤ 3⋅ 105, 1 ≤ m ≤ 3105, n⋅ m ≤ 3⋅ 105, 0 ≤ s ≤ m).

Далее следует m блоков по n − 1 строке в каждом, каждый блок задает бесповторную монотонную линейную программу для одной строки таблицы. В каждом блоке p-я строка содержит 3 целых числа: ap, bp и opp (1 ≤ ap < n + p, 1 ≤ bp < n + p, гарантируется, что в одном блоке все значения ap и bp попарно различны, opp = 1 или opp = 2).

Последние m строк задают таблицу, i-я строка содержит n целых чисел, j-е из которых равно xi, j (0 ≤ xi, j ≤ m − 1, в каждом столбце все числа различны, то есть если i ≠ k, то xi, j ≠ xk, j для всех j).

Формат выходных данных

Выведите n целых чисел — искомые значения порогов z1, z2, …, zn (0 ≤ zj ≤ m). Если подходящих вариантов несколько, выведите любой из них.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 3⋅ 105, 1 ≤ m ≤ 3105, n⋅ m ≤ 3⋅ 105, 0 ≤ s ≤ m

1 ≤ ap < n + p, 1 ≤ bp < n + p, гарантируется, что в одном блоке все значения ap и bp попарно различны, opp = 1 или opp = 2

1 ≤ ti ≤ 109, 1 ≤ ki ≤ 1018

0 ≤ xi, j ≤ m − 1, в каждом столбце все числа различны, то есть если i ≠ k, то xi, j ≠ xk, j для всех j

Система оценивания

Баллы за каждую подзадачу начисляются только в случае, если все тесты для этой подзадачи и необходимых подзадач успешно пройдены.

Подзадача Баллы Ограничения Необходимые подзадачи Информация о проверке
110n ≤ 2, m ≤ 103 первая ошибка
210n ≤ 2, m ≤ 105 1первая ошибка
310n ≤ 10, m ≤ 2 первая ошибка
45xi,j = i − 1 первая ошибка
55opp = 1, только операции "и" первая ошибка
620n ≤ 100 1, 2, 3первая ошибка
710БМЛП для всех строк одинаковые первая ошибка
830нет 1 — 7первая ошибка

Замечание

В примере в таблице три строки, каждой соответствует формула. Необходимо найти четыре порога так, чтобы ровно две формулы возвращали 1, а оставшаяся — 0.

Рассмотрим, как будет вычисляться массив val для первой строки.

Первые четыре значения вычисляются на основе чисел в этой строке и порогов:

Далее выполняем линейную программу для первой строки:

Таким образом значение булевой функции для первой строки равно 0. Кстати, если эту функцию записать формулой, то получится:

(((x1,1 < z1) and (x1,2 < z2)) or ((x1,3 < z3) and (x1,4 < z4))).

Аналогично, булева функция для второй строки равна:

((((x2,1 < z1) or (x2,2 < z2)) and (x2,3 < z3)) or (x2,4 < z4)),

а для третьей строки:

(((x3,1 < z1) and (x3,4 < z4)) or ((x3,2 < z2) and (x3,3 < z3))).

При подстановке порогов z1 = 0z2 = 1z3 = 2z4 = 3 получим следующие выражения.

Вторая строка:

((((2 < 0) or (2 < 1)) and (1 < 2)) or (0 < 3)) = (((0 or 1) and 1) or 1) = (0 or 1) = 1,

Третья строка:

(((1 < 0) and (1 < 3)) or ((0 < 1) and (0 < 2))) = ((0 and 0) or (1 and 1)) = (0 or 1) = 1.

Заметим, что это не единственный подходящий набор порогов, также подойдут, например, значения z1 = 0z2 = 0z3 = 3z4 = 3.

Примеры тестов

Стандартный вход Стандартный выход
1
4 3 2
1 2 1
3 4 1
5 6 2
1 2 2
3 5 1
4 6 2
1 4 1
2 3 1
5 6 2
0 1 2 2
2 2 1 0
1 0 0 1
0 1 2 3

0.127s 0.012s 13