Аналитическая геометрия на плоскости

Первая задача аналитической геометрии – представление геометрической фигуры уравнением или неравенством, системой уравнений или неравенств на основе применения координат. Вторая задача аналитической геометрии – исследовать, какие геометрические фигуры представляются теми или иными уравнениями.

Пусть – функция двух вещественных переменных и . Уравнение задает линию или кривую, если

  1. координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению и
  2. координаты точки, не принадлежащей линии, не удовлетворяют
  3. этому уравнению.
При этом уравнение может задавать точку, отрезок или пустое множество. Уравнение называется алгебраическим степени , если его левая часть представляет собой многочлен степени относительно и с численными коэффициентами.

Упражнения

Циклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по данной прямой . Приняв прямую за ось абсцисс, а начальное положение точки за начало координат, напишите уравнение циклоиды и постройте ее.

Пусть - произвольная точка циклоиды, - центр катящейся окружности, а - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось абсцисс. Примем в качестве параметра угол, который образует луч с лучом т. е. . Если - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось абсцисс, а - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось ординат, то Получили следующее параметрическое задание циклоиды Исключив , получим уравнение циклоиды в прямоугольных декартовых координатах. Циклоида - линия периодическая с периодом

Параметрическое задание: . В декартовых координатах: .

Эпициклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся без скольжения по внешней стороне другой окружности радиуса . Примем центр неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой cистемы координат, а за параметр - угол , где - центр катящейся окружности, - точка на положительной полуоси . Напишите параметрическое уравнение эпициклоиды.

Кардиоидой называется кривая в частном случае, когда . Напишите уравнение кардиоиды и постройте ее.

Гипоциклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса . Примем центр неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой системы координат, а за параметр - угол , где - центр катящейся окружности, - точка на положительной полуоси . Напишите параметрическое уравнение гипоциклоиды.

Астроидой называется кривая в частном случае, когда Напишите уравнение астроиды и постройте ее.

Дана прямая и точка , отстоящая от нее на расстоянии . Через точку проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой откладывается в обе стороны отрезок, равный . Геометрическое место концов этих отрезков называется конхоидой Никомеда. Примем точку за полюс полярной системы и направим полярную ось перпендикулярно к прямой . Напишите уравнение конхоиды Никомеда и постройте ее.

Пусть - произвольная прямая, проходящая через и пересекающая прямую в точке . Точки и , лежащие на этой прямой и отстоящие от точки на расстоянии , принадлежат искомому геометрическому месту точек. Если и - обобщенные полярные координаты точек и , то

В обобщенной полярной системе кривая задается уравнением

Конхоидой данной кривой называется кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении полярного радиуса каждой точки данной кривой на постоянный отрезок. Улиткой Паскаля называется конхоида окружности, если за полюс выбрана точка на окружности. Напишите уравнение улитки Паскаля, приняв диаметр, проходящий через точку , за полярную ось.

Если - уравнение данной кривой в полярных координатах, то - уравнение конхоиды, где - отрезок, который откладывается от точек кривой.

Если - радиус данной окружности, а - постоянный отрезок, который откладывается на полярном радиусе, и если , то улитка Паскаля является кардиоидой. Докажите это.

Овалом Кассини называется геометрическое место точек плоскости, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости постоянно. Пусть и - фиксированные точки, - постоянное число и . Примем направленную прямую за ось абсцисс, а середину отрезка за начало координат. Напишите уравнение овала Кассини.

Для и соотношение запишется так: После элементарных преобразований получим Отсюда

При овал Кассини - замкнутая линия. При линия состоит из пары обособленных овалов.

Лемнискатой Бернулли называется овал Кассини в частном случае, когда . Напишите уравнение лемнискаты Бернулли и постройте ее.

Четырехлепестковой розой называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямого угла на отрезок постоянной длины, который перемещается своими концами по сторонам прямого угла. Приняв за полюс полярной системы координат вершину прямого угла и направим полярную ось по одной из сторон прямого угла. Длина отрезка . Выведите уравнение четырехлепестковой розы и постройте ее.

Луч , исходящий из неподвижной точки , вращается с постоянной угловой скоростью . Точка , имея начальное положение в точке , движется по лучу равномерно со скоростью . Траектория точки называется спиралью Архимеда. Примем за полюс. Напишите уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат и постройте ее.

, где .

Пусть - диаметр некоторой окружности, а - касательная к окружности, проведенная в конце диаметра. Через точку проведена прямая, пересекающая окружность в точке , а касательную в точке . На луче от точки отложен отрезок . Геометрическое место точек называется циссоидой Диоклеса. Приняв точку за полюс полярной системы координат и направив ось по лучу , выведите полярное уравнение циссоиды. Запишите уравнение в прямоугольной декартовой системе.

Даны диаметрально противоположные точки и окружности диаметра и касательная к окружности в точке . Пусть - произвольная точка окружности, - точка пересечения прямых и , а - точка пересечения прямых, проведенных через и и перпендикулярных соответственно прямым и . При движении точки по окружности точка описывает кривую, называемую верзиерой. Выведите уравнение верзиеры в прямоугольной декартовой системе.

Следует из соотношения

§12.1. Уравнения прямой на плоскости

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору

Точка принадлежит прямой векторы и перпендикулярны

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно ненулевому вектору имеет вид Здесь , так как вектор ненулевой.

Основная теорема теории прямой на плоскости. Геометрическое место точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению есть прямая, параллельная вектору и проходящая через точку

Доказательство. Точка принадлежит прямой векторы и параллельны или в силу того, что , выполняется условие

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Частные случаи общего уравнения. При получим уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Пусть - другая точка прямой. Тогда Из уравнения и равенства получим уравнение прямой, проходящей через точки две данные точки, Если это точки и пересечения прямой с осями координат, то и получим уравнение прямой в отрезках

Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется ее направляющим вектором. Пусть некоторый направляющий вектор данной прямой имеет координаты и Тогда уравнение (3) можно переписать в виде канонического уравнения прямой

Приравняв отношения к параметру получим параметрическое уравнение прямой на плоскости Предположим, что в общем уравнении Тогда Введем обозначения , Уравнение называется уравнением с угловым коэффициентом и начальной ординатой Если точка принадлежит прямой, то и после вычитания этого равенства из уравнения (5) получим уравнение прямой через угловой коэффициент и точку Если - другая точка прямой, то С другой стороны эта дробь равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, т. е. угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс Вернемся к самой первой задаче этого параграфа.

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору

Пусть - начало координат, а - произвольная точка плоскости. Вектор называется радиусом вектором точки Точка принадлежит заданной прямой когда векторы и перпендикулярны, т. е Обозначив число через , получим векторное уравнение прямой

Упражнения

  1. Докажите, что уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать в виде
  2. Докажите, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
  3. Через каждую вершину треугольника проведите прямую, параллельную противоположной стороне, где (1; -2 ), (0; 3), (1; 1).
  4. Покажите, что четырехугольник является трапецией, где (-2;2), (-3;1), и Составьте уравнение средней линии и диагоналей трапеции.
  5. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма и и точка пересечения его диагоналей . Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.
  6. Через точку проведите прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.
  7. Вершины треугольника находятся в точках и ; 7).
  8. Напишите уравнение
    • а) биссектрисы внутреннего угла
    • б) медианы, проведенной из вершины
    • в) высоты, опущенной из вершины .
  9. Даны середины сторон треугольника , где (2; -1 ), (-3; -3), (-1; 0).
  10. Уравнение движения точки имеет вид Определите
    • а) скорость точки ;
    • б) координаты в момент времени =3;
    • в) в какой момент времени точка достигнет прямой
  11. Найдите проекцию точки (5, -2) на прямую
  12. Определите координаты точки, симметричной началу координат относительно прямой
  13. На прямой найдите точку, сумма расстояний которой до точек (-5;0) и (-3;4) наименьшая.

§ 12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые, определяемые уравнениями параллельны тогда и только тогда, когда направляющие векторы и параллельны, отсюда условие параллельности двух прямых

Условия, при которых два уравнения определяют одну и ту же прямую

Все коэффициенты одного уравнения получаются из другого умножением на некоторое отличное от нуля число, т. е. уравнения эквивалентны. Ясно, что если прямые совпадают, то имеет место пропорция (4).

Плоскость называется ориентированной, если на ней указано некоторое направление вращения в качестве положительного. Углом между прямой и прямой на ориентированной плоскости называется тот угол, на который следует повернуть до совпадения с Если поворот совершается в положительном направлении, то Если поворот совершается в отрицательном направлении, то Угол между прямыми можно вычислить как угол между направляющими векторами

Отсюда условие перпендикулярности прямых:

Если уравнения записаны через угловой коэффициент,

то условия взаимного расположения прямых выглядят так:

Если существует общая точка прямых, заданных уравнениями

то ее координаты удовлетворяют этим уравнениям и обратно, если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнениям одновременно, то эта точка есть точка пересечения прямых. Следовательно, для нахождения координат общей точки надо решить систему, составленную из этих двух уравнений. Если

то существует единственное решение системы.

Пучком пересекающихся прямых, определяемым прямыми (1) и (2), называется совокупность всех прямых, проходящих через точку пересечения этих прямых, если они пересекаются. Центром пучка называется точка пересечения прямых. Пучком параллельных прямых называется совокупность всех прямых, имеющих направления прямых (1) и (2), если они параллельны или совпадают.

ТЕОРЕМА. Уравнение пучка прямых, определяемого различными прямыми (1) и (2), имеет вид где и принимают всевозможные значения, не равные одновременно нулю.

Доказательство. Ясно, что прямая

проходит через точку пересечения прямых (1) и (2). Пусть прямая

проходит через точку пересечения прямых (1) и (2). Система

имеет единственное решение и Теорема доказана.

При решении задач удобнее это уравнение использовать в виде

в котором можно записать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых (1) и (2), кроме второй из взятых прямых.

Задача. Даны уравнения двух пересекающихся прямых

Найдите уравнения прямой, проходящей через данную точку и точку пересечения данных прямых.

Прямая пучка проходит через данную точку, если

Подставив полученное значение в уравнение пучка после преобразований получим

Упражнения

  1. Выясните взаимное расположение прямых и в случае пересечения определите координаты общей точки
    • а) и
    • б) и
    • в) и
    • г) и
    • д) и
    • е) и
    • ж) и
  2. При каком значении параметра прямые параллельны и
  3. Докажите, что уравнение пучка с центром можно записать так
  4. или
  5. Докажите, что три прямые
  6. принадлежат одному пучку тогда и только тогда, когда
  7. Даны уравнения сторон треугольника
  8. и Составьте уравнения:
    • а) высот треугольника,
    • б) прямых проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам.
  9. Через точку пересечения прямых и проведите прямую:
    • а) параллельную оси абсцисс;
    • б) параллельную оси ординат;
    • в) проходящую через начало координат.
  10. Определите общую прямую двух пучков

§12.3. Расстояние от точки до прямой

Уравнение называется уравнением прямой в нормальной форме, если Общее уравнение прямой приводится к нормальному виду с помощью нормирующего множителя где принято знак выбирать противоположным свободному члену, т. е.

Пусть точка лежит на расстоянии от прямой и - проекция точки на эту прямую, - нормаль к прямой. Для нормального уравнения длина вектора нормали равна 1. Отклонением точки от прямой называется число , равное , если векторы и сонаправлены и , если и противоположно направлены. Тогда

Так как то Для общего уравнения расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Нормальное уравнение часто записывают в виде Здесь , - направляющие косинусы вектора нормали. Геометрический смысл параметра - расстояние от начала координат до плоскости. Вектор нормали направлен в сторону полуплоскости, в которой нет начала координат.

Геометрический смысл знака трехчлена: для того, чтобы точка и вектор лежали в одной полуплоскости относительно прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Задача. Даны точки и и прямая Проходит ли прямая через внутреннюю точку отрезка

Так как числа и имеют разные знаки, то точки принадлежат различным полуплоскостям относительно прямой.

прямая пересекает отрезок.

Упражнения

  1. Какие стороны треугольника с вершинами пересекаются каждой из осей координат?
  2. Докажите, что четырехугольник с вершинами выпуклый.
  3. Докажите, что четырехугольник с вершинами невыпуклый.
  4. Дан четырехугольник
    • а) Докажите, что точки и лежат внутри данного четырехугольника.
    • б) Докажите, что точки и лежат вне данного четырехугольника.
  5. Даны стороны треугольника Составьте систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
  6. Изобразите на чертеже область, определяемую системой неравенств
  7. Найдите длины высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями: и
  8. Напишите уравнение окружности с центром в точке , касающейся прямой
  9. Выведите формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми и Пользуясь полученной формулой, определите расстояние между прямыми и
  10. Составьте уравнения прямых, отстоящих от прямой на расстоянии, равном 3.
  11. Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных прямых:
    • а)
    • б)
  12. На прямой найдите точки, равноудаленные от прямых и
  13. Составьте уравнение биссектрисы того угла между прямыми и в котором лежит начало координат.
  14. Даны уравнения сторон треугольника: и Составьте уравнения вписанной и вневписанных окружностей.
  15. Луч света направлен по прямой Дойдя до прямой луч отразился. Составьте уравнение прямой, на которой оказался отраженный луч.
  16. Составьте уравнения сторон треугольника зная уравнения двух биссектрис и координаты вершины

§ 12.4. Полярные координаты

Возьмем на плоскости прямую. Выберем на ней точку и единичный вектор а также некоторое положительное направление обхода. Пусть - произвольная точка плоскости, отличная от Положение этой точки однозначно определено заданием длины отрезка и углом между векторами и Числа и называются полярными координатами точки При этом называется полярным радиусом, а - полярным углом. Если имеет полярные координаты и то пишем Точка называется полюсом, а луч - полярной осью. Точка вектор и положительное направление обхода плоскости образуют полярную систему координат.

Заметим, что полярный угол имеет бесконечное много значений. Если совпадает с то а значение считаем неопределенным.

Пусть - прямоугольная декартова система, где вектор получен из вектора и поворотом на 90 Полярные и прямоугольные декартовы координаты точки связаны соотношениями Иногда рассматривают обобщенные полярные координаты. В этом случае считаем, что полярный радиус может принимать и отрицательные значения. Например, точка с полярными координатами (3; 210) имеет обобщенные полярные координаты (-3; 30).

Найдем полярное уравнение прямой на плоскости. Пусть прямая задана нормальным уравнением Выразив переменные через полярные координаты, получим или Это и есть полярное уравнение прямой на плоскости.

Упражнения

  1. В полярной системе координат даны точки и Вычислите расстояние между ними.
  2. Вычислите площадь треугольника если - полюс и известны полярные координаты вершин
  3. Треугольник задан полярными координатами вершин: Докажите, что треугольник равнобедренный.
  4. Треугольник задан полярными координатами вершин: Докажите, что треугольник прямоугольный.
  5. Как расположены точки на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют одному из условий: а) б) в) г) д) е)

§ 12.5. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Данная точка называется центром окружности. Расстояние любой точки окружности до центра называется радиусом окружности.

Пусть - центр окружности, - ее радиус, а) - текущая точка окружности. Тогда Возведя обе части равенства в квадрат, получим нормальное уравнение окружности Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем каноническое уравнение окружности

Пример. Найдите координаты центра и радиус окружности

Выделив полные квадраты, преобразуем уравнение к виду или

Упражнения

  1. Если точка лежит вне окружности то а если внутри окружности, то Докажите это.
  2. Найдите геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек и этой плоскости постоянно и равно
  3. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек и этой плоскости постоянна.
  4. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от трех данных точек и этой плоскости постоянна.
  5. Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, имеют постоянную длину.
  6. Определите геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом.
  7. Дана окружность радиуса и на ней точка . Найдите геометрическое место точек, делящих всевозможные хорды, проведенные через в одном и том же отношении.
  8. Найдите геометрическое место середин всех хорд окружности, имеющих данную длину.

§ 12.6. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки и называются фокусами. Длина отрезка называется фокусным расстоянием. Постоянную сумму расстояний обозначим через так что для любой точки эллипса имеем Считаем, что

Эллипс можно построить с помощью нити длиной закрепленной концами в фокусах. Зацепив нить острием карандаша и двигая его так, чтобы нить все время была в натянутом состоянии, мы острием карандаша вычертим эллипс.

Для изучения эллипса применим метод координат, который в данном случае заключается в выборе системы координат, в которой уравнение эллипса имеет наиболее простой вид и наиболее удобный для исследования. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка за ось ординат. Тогда координаты фокусов и Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда Получили уравнение эллипса. Преобразуем его. Так как то существует положительное число для которого Отсюда Разделив обе части уравнения на получим каноническое уравнение эллипса На самом деле уравнение (2) является следствием уравнения эллипса. Но мы покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса равно Аналогично вычисляется расстояние до фокуса Оно равно Так как то точка лежит на эллипсе. Тем самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением эллипса. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение эллипса переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - центр симметрии эллипса. Для построения графика эллипса достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение эллипса имеет вид При возрастании от 0 до значение функции уменьшается от до 0. График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса, центр симметрии эллипса - центром эллипса, отрезок - большой осью эллипса, - малой осью, число - большой полуосью, число - малой полуосью. Форма эллипса зависит от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то эллипс становится все более похож на окружность. Когда фокусы сольются с центром эллипса, то эллипс обратится в окружность с уравнением Если фокусы отодвигаются от центра, то эллипс постепенно вырождается в отрезок. Основным прямоугольником эллипса называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям эллипса и отстоящими от них соответственно на расстоянии и Эллипс располагается внутри основного прямоугольника.

Рассмотрим окружность и подвергнем ее преобразованию Получим В результате сжатия окружности к ее оси симметрии она преобразуется в эллипс

Всякий эллипс может быть получен как результат равномерного сжатия некоторой окружности. Степень сжатия эллипса характеризуется эксцентриситетом (отношение фокусного расстояния к длине большой оси). Эксцентриситет эллипса всегда меньше единицы. Для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок, эксцентриситет равен 1. Для эллипса, превратившегося в окружность, когда его фокусы совпали, эксцентриситет равен нулю. Директрисой эллипса называется прямая, параллельная малой оси и отстоящая от нее на расстоянии Под это определение попадают две прямые с уравнениями и Фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости, называем соответствующими.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса имеем Аналогично вычисляем отношение для правого фокуса.

ТЕОРЕМА. Уравнение касательной к эллипсу в точке эллипса имеет вид

Доказательство. Продифференцировав обе части уравнения эллипса, получим

Отсюда, угловой коэффициент касательной в точке равен а уравнение касательной в этой точке можно записать так:

Задача. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум перпендикулярным прямым. Найдите линию, описываемую некоторой точкой движущегося отрезка.

Примем данные перпендикулярные прямые в качестве осей координат с началом координат в точке пересечения этих прямых. Точка отрезка скользит по оси а точка отрезка скользит по оси Пусть точка делит данный отрезок на части Если то Исключим из этих уравнений параметр т. е. Таким образом, кривая, описываемая точкой есть эллипс. Уравнение называется параметрическим уравнением эллипса.

Задача. Луч света, выходя из одного фокуса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус (оптическое свойство эллипса).

Сумма расстояний до фокусов эллипса точки касания наименьшая среди остальных точек касательной, поскольку все они лежат вне эллипса. Отразим фокус эллипса относительно касательной к эллипсу в точке Получим точку Точка лежит на отрезке , так как для любой другой точки касательной По закону: угол падения равен углу отражения, луч движется по маршруту

Задачи и упражнения

  1. Докажите, что если точка находится вне эллипса, то сумма расстояний от нее до фокусов больше, чем на эллипсе, если внутри, то меньше.
  2. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой оси.
  3. Докажите, что отрезок касательной к эллипсу в любой точке, заключенный между касательными, проведенными в вершинах, лежащих на большой оси, виден из фокусов под прямым углом.
  4. Докажите оптическое свойство эллипса: всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки прикосновения.
  5. Составьте геометрическое место точек, из которых эллипс виден под прямым углом.
  6. Через фокус эллипса проведена хорда, касательная оси Определите длину этой хорды.
  7. Равномерным сжатием плоскости к прямой называется преобразование точек плоскости, при котором точка переходит в точку для которой где и - основание перпендикуляра, опущенного из на прямую Пусть прямая проходит через центр данной окружности. Докажите, что при равномерном сжатии к этой прямой окружность преобразуется в эллипс.

§ 12.7. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки и называются фокусами. Длина отрезка называется фокусным расстоянием. Постоянную разность расстояний (из большего расстояния вычитаем меньшее) обозначим через , так что для любой точки гиперболы имеем . Считаем, что . Для изучения гиперболы применим метод координат. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка за ось ординат. Тогда координаты фокусов и . Точка принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда Получили уравнение гиперболы. Преобразуем его. Так как , то существует положительное число , для которого Отсюда Каноническое уравнение гиперболы

Уравнение (2) является следствием уравнения гиперболы. Покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки , удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса равно

Аналогично вычисляется расстояние до фокуса Оно равно . Так как то точка лежит на гиперболе. Тема самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением гиперболы. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение гиперболы переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - центр симметрии гиперболы. Для построения графика достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение гиперболы имеет вид

При возрастании от до бесконечности значение функции возрастает от до . График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график гиперболы. Ось симметрии гиперболы, имеющую с ней общие точки называем действительной осью гиперболы. Ось симметрии гиперболы, не имеющую с ней общие точки называем мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с действительной осью , называют вершинами гиперболы, центр симметрии гиперболы - центром гиперболы. Гипербола распадается на две ветви: "правую", для точек которой абсцисса и "левую", для точек которой .

Отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами называется эксцентриситетом . Для гиперболы эксцентриситет всегда больше 1. Директрисой гиперболы называется прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от нее на расстоянии Под это определение попадают две прямые с уравнениями и . Называем соответствующими фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса при имеем Аналогично вычисляем отношение в остальных случаях.

Продолжим изучение гиперболы в первой четверти. Положительная в первой четверти разность между ординатами прямой и гиперболы cтремится к нулю при бесконечном возрастании . Прямая является асимптотой гиперболы. При бесконечном возрастании гипербола приближается к прямой, но не пересекает. В силу симметрии такая же картина наблюдается в третьей четверти, а во второй и четвертой четвертях асимптотой является прямая Точка лежит на асимптоте, т. е. геометрический смысл параметра - ордината асимптоты, восставленная из вершины гиперболы. Так как то для нахождения фокуса гиперболы можно отложить на оси отрезок .

Основным прямоугольником гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям гиперболы и отстоящими от них соответственно на расстоянии и . Диагонали основного прямоугольника гиперболы и есть асимптоты.

Упражнения

  1. Докажите, что уравнение касательной к гиперболе в точке гиперболы имеет вид
  2. Точка называется внутренней точкой гиперболы, если любая секущая, проходящая через эту точку и не параллельная асимптотам, пересекает гиперболу в двух различных точках. Внешней точкой гиперболы называется точка, не лежащая на гиперболе и не являющаяся внутренней. Докажите, что точка внутренняя точка гиперболы в том и только том случае, если
  3. Найдите необходимое и достаточное условие касания прямой с гиперболой , если данная прямая не параллельна асимптотам гиперболы.
  4. Найдите необходимое и достаточное условие касания прямой с гиперболой , если данная прямая не параллельна асимптотам гиперболы.
  5. Докажите, что касательные в вершинах гиперболы, параллельны ее мнимой оси.
  6. Если угловой коэффициент прямой удовлетворяет неравенствам , то прямая не может касаться гиперболы Докажите это.
  7. Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых гипербола видна под прямым углом.
  8. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная.
  9. Докажите, что отрезок асимптоты, заключенный между центром гиперболы и директрисой, равен действительной полуоси.
  10. Докажите, что директрисы гиперболы проходят через основания перпендикуляров, опущенных из соответствующих фокусов на асимптоты. Выразите расстояние от фокусов до асимптот через полуоси гиперболы.
  11. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между асимптотами, делится в точке соприкосновения пополам.
  12. Докажите оптическое свойство гиперболы: всякая касательная к гиперболе составляет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

§ 12.8. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки и данной прямой этой плоскости. Данная точка называется фокусом, а данная прямая называется директрисой. Расстояние между фокусом и директрисой называется фокальным параметром или параметром параболы.

Для изучения параболы применим метод координат. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе; за ось ординат - прямую, параллельную директрисе и проходящую на равном расстоянии от фокуса и директрисы. Координаты фокуса . Точка принадлежит параболе тогда и только тогда, когда Это - уравнение параболы. Преобразуем его. Получили каноническое уравнение параболы Каждому положительному значению х отвечают два значения а может принимать только положительные значения и нуль. График симметричен относительно оси . Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

Упражнения

  1. Докажите, что уравнение касательной к параболе в точке параболы имеет вид
  2. Найдите геометрическое место середин хорд параболы , имеющих угловой коэффициент .
  3. Прямая , не параллельная оси касается параболы тогда и только тогда, когда . Докажите это.
  4. Прямая , не параллельная оси , касается параболы тогда и только тогда, когда . Докажите это.
  5. Точка называется внутренней точкой параболы, если любая прямая, проходящая через эту точку и не параллельная оси параболы, пересекает параболу в двух различных точках. Внешней точкой параболы называется точка, не лежащая на параболе и не являющаяся внутренней. Докажите, что точка внутренняя точка параболы в том и только том случае, если
  6. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные.
  7. Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых парабола видна под прямым углом.
  8. Если из любой точки директрисы проведены к параболе две касательные, то прямая, соединяющая точки касания, проходит через фокус параболы. Докажите это.
  9. Докажите оптическое свойство параболы: всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом точки и лучом, проходящим через точку касания и сонаправленным с осью.
  10. Докажите, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из концов любой фокальной хорды на ось параболы имеет постоянную величину.

§ 12.9. Полярное уравнение линии второго порядка

Найдем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Начало полярной системы координат поместим в фокус (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы). Полярная ось направлена по фокальной оси в сторону, противоположную от соответствующей директрисы. Для произвольной точки кривой обозначим через расстояние от точки до фокуса , а через - расстояние от до директрисы. Наша кривая есть геометрическое место точек, для которых где - эксцентриситет эллипса или гиперболы и в случае параболы. Пусть - точка пересечения прямой, проведенной через , перпендикулярно полярной оси и Обозначая через точку пересечения директрисы с фокальной осью, а через - проекцию точки на эту ось, получим, что или где - угол наклона вектора к полярной оси. Это и есть уравнение эллипса, правой ветви гиперболы и параболы в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно пользуются в астрономии и в механике.

§ 12.10. Общая теория линий второго порядка

Линией второго порядка называется линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени. Запишем уравнение второго порядка в самом общем виде При условии, что вычислим

ПРИМЕР. Для эллипса имеем

. Тогда

Можно доказать, что эти числа являются инвариантами относительно преобразования параллельного переноса, т. е. при преобразовании поворота осей координат величины, составленные из соответствующих коэффициентов преобразованного уравнения, сохранятся. Можно доказать также, что при параллельном переносе осей координат не изменяются величины и . Таким образом, можно определить название линии второго порядка.

С помощью параллельного переноса системы координат можно освободиться от слагаемых первой степени, а с помощью поворота осей можно освободиться от слагаемого, содержащего произведение переменных. После подбора подходящей системы координат уравнение второй степени примет наиболее простой вид. Коэффициенты приведенных уравнений определяются при помощи инвариантов.

Упражнения

  1. Центром линии называется точка плоскости, по отношению к которой точки линии симметричны парами. Линии второго порядка, обладающие центром, называются центральными. Докажите, что точка является центром линии (1) тогда и только тогда, когда
  2. Определитель второго порядка , составленный из коэффициентов при старших слагаемых уравнения (1), называется дискриминантом уравнения (1). Докажите, что линия второго порядка центральная тогда и только тогда, когда . Докажите, что координаты центра находятся по формулам
  3. Определитель называется дискриминантом левой части уравнения (1); здесь и для ю При переносе начала координат в центр линии (1) с помощью преобразования уравнение (1) приобрело вид Докажите, что
  4. Установите, что следующие линии являются центральными, и найдите координаты центра каждой линии:
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
  5. Уравнение (2) подвергнем преобразованию поворота осей на угол при условии, что Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид где и
  6. Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если и параболическим, если . Докажите, что уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.
  7. Докажите, что каждое эллиптическое уравнение является уравнением эллипса, либо вырожденного эллипса, либо мнимого эллипса.
  8. Докажите, что каждое гиперболическое уравнение определяет уравнение гиперболы либо вырожденной гиперболы.
  9. Докажите, что если , то линия либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
  10. Уравнение (1) подвергнем преобразованию поворота осей на угол при условии, что и . Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид где , либо вид где